Mahmut Çelikcan, 1964 yılında Adana’da doğdu. İlkokulu, ortaokulu ve liseyi Adana’da okudu. Fırat Üniversitesi İnşaat Mühendisliği bölümü mezunudur.
1987 Yılında Karayolları Genel Müdürlüğünde göreve başladı. 1989-1993 yıllarında Diyarbakır Karayolları Bölge Müdürlüğünde Kontrol Mühendisliği.1993-2003 yıllarında Mersin Karayolları Bölge Müdürlüğünde Kontrol Şefliği, Başmühendislik ve Bölge Müdür Yardımcılığı.2003-2005 yıllarında Mersin Karayolları Bölge Müdürlüğünde Bölge Müdürlüğü. 2005-2007 yıllarında Trabzon Karayolları Bölge Müdürlüğünde Bölge Müdürlüğü yaptı.
2007 Genel Seçimlerinde Ak Parti Adana Milletvekili Adaylığında bulundu. 2007-2008 yıllarında Karayolları Genel Müdürlüğünde Genel Müdür Yardımcısı olarak görevine devam etti. 2008 Adana Büyükşehir Belediye Başkanlığı Aday Adaylığı İçin Görevinden İstifa etti. 2009 Mart Seçimlerinde Yüreğir Belediye Başkanı olarak seçildi.2014 tarihinde yapılan Yerel Seçimde Ak Parti’den tekrar Adana Yüreğir Belediye Başkanı seçildi.
Mahmut Çelikcan, evli ve 4 çocuk babasıdır.
