1952'de Diyarbakır'ın Ergani ilçesinde doğan Yıldırım, orta öğrenimini Düzce'de yaptı. Daha sonra Ankara Devlet Mühendislik Mimarlık Akademisi'nden İnşaat Mühendisi olarak mezun oldu. NATO Altyapı ihalelerine de katılan Maktaş Mühendislik firmasının sahibidir. Düzcespor Kulübünde fahri başkanlık yapmıştır.
Aziz Yıldırım döneminde Fenerbahçe 1997-1998 sezonunda başkanlık dönemi başlayan Aziz Yıldırım, döneminde Fenerbahçe futbol takımı ile 4 kez Türkiye Ligi şampiyonluğu, 3 kez Türkiye Ligi ikinciliği, 1 kez Türkiye Süper Kupası, 1 kez Atatürk Kupası, 1 kez Başbakanlık Kupası şampiyonluğu elde ederken, uluslararası bazda 2008 Şampiyonlar Ligi çeyrek finalisti olmuştur. Amatör branşların tamamında Aziz Yıldırım döneminde şampiyonluklar kazanılmış ve avrupada bir çok amatör branşta başarılar elde edilmiştir.Fenerbahçe başkanı Aziz Yıldırım,
Kulübünün hafta sonu yapılacak seçimli olağan genel kurulunda başkan adayı olan Aziz Yıldırım sarı-lacivertli kulüpte 13. kongresini geçirecek.Sarı-lacivertli kulübe ilk kez 14-15 Şubat 1998'deki genel kurulda başkan seçilen Yıldırım, 20 yılı aşkın sürede girdiği 12 kongrede de koltuğu bırakmadı.Fenerbahçe Kulübünün yarın ve 3 Haziran'da Ülker Stadı'nda gerçekleşecek kongresinde bir kez daha aday olan Yıldırım, 13. kongresinde Ali Koç'la karşı yarışacak.
Özel hayatından kısaca söz edecek olursak, Yıldırım’ın 3 çocuğu vardır. 30 yıllık eşi Yıldız Yıldırım’da 7 Nisan 2010 da boşanan Aziz Yıldırım 23.09.2013 tarihinde Gonca Çelikkıran ile evlenmiştir. Bu evlilikten bir kız çocuğu vardır.