1987 tarihinde İstanbul'da doğmuştur. İstanbul Üniversitesi Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümünden mezun olmuştur. 2009 senesinde ATV ekranında yayınlanan Elveda Rumeli adlı dizide rol almış ve dizide Mehmet karakteri ile tanınmıştır.
Mustafa Barış Koçkar, Beş İnsan Bir Çatı, Erkek Olmanın Dayanılmaz Ağırlığı gibi oyunlarınde yer almıştır.
Mustafa Barış Koçkar 2017 yılında da "Feda" isimli bir sinema filminde rol almış,bu filmi, Montpellier Mediterranean Film Festivalinde de gösterilmiştir.
Fox TV'de yayınlanan ve Avustralya'nın Neighbours dizisinden uyarlanan Komşular dizisinde rol almıştır. Mustafa Barış Koçkar, Komşular dizisinde Demir rolü ile ekrana gelmiştir.