1953 Karaman’Hamidiye doğumlu Nazmi Irgat Karaman Endüstri Meslek Lisesinden 1974 yılında mezun oldu. 1974 yılında Karaman Sümerbank Pamuklu Sanayi Müessesesinde çalışma hayatına başladı. Çalışken devam ettiği Antalya Meslek Yüksek Okulu, Makine Bölümünden 1980 yılında mezun oldu. İşyerinde Makine Bakım Teknik Nezaretçisi olarak çalışırken 23 Ekim 1983 yılında Teksif Sendikası Karaman Şube Başkanı seçildi.
Teksif’in 15-17 Eylül 1995 tarihlerinde yapılan 14. Olağan Genel Kurulunda Genel Başkan Yardımcılığına seçildi. Bu görevi 12 yıldır sürdürdü. Sendikanın 17. Olağan Genel Kurulunda Genel Başkanlığa seçildi. Bu göreve 19-20 Şubat 2011 tarihinde yapılan 18. Olağan Genel Kurulda yeniden seçildi. 19 Mart 2017 tarihinde gerçekleştirilen TEKSİF Olağanüstü Genel Kurulda Genel Başkanlığa seçildi.
8-11 Aralık 2011 tarihinde gerçekleşen TÜRK-İŞ 21. Olağan Genel Kurulunda Genel Teşkilatlandırma Sekreterliğine seçildi. 3 Eylül 2013 günü Yönetim Kurulu Kararı ile Türk-İş Eğitim Sekreterliğine getirilen Irgat,TÜRK-İŞ’in 22. Olağan Genel Kurulu'nda Genel Eğitim Sekreterlik görevine seçildi.
Nazmi Irgat, evli ve 3 çocuk babasıdır.
Asgari ücretin açıklanmasının ardından işçi temsilcisini temsil eden Türk- İş sekreteri Nazmi Irgat, "Bu rakamla işçilerin değil 30 gün, 10 gün bile geçinmeleri mümkün değil'' diyerek zamma tepki göstererek toplantıyı terk etti.