Onur Kıvrak 1988 yılının Aralık ayında Manisa’da dünyaya geldi. Futbola 8 yaşındayken amatör küme takımlarından Yeşilova ile başladı. Yaklaşık 8 sene altyapılarda forma giydi. 2004 yılında Karşıyaka’ya transfer oldu. İzmir ekibi Karşıyaka’da kısa sürede ilk 11’e girdi. Burada dört yıl geçirdi ve sergilediği performansla ile Trabzonspor’a tam 700 bin avro bonservis ücreti karşılığında transferi gerçekleşti.
Trabzonspor’un o dönem ki hocası Ersun Yanal tarafından şans bulmakta zorlandı.Ersun Yanal’ın Eskişehirspor’a gitmesiyle birlikte teknik direktörlüğe Şenol Güneş getirildi. Güneş yönetiminde daha sık onbir oynamaya başladı. 2011 yılında yılın kalecisi seçildi ve Tolga Zengin’den kaleyi devraldı. Aynı sene talihsiz bir sakatlık yaşadı ve 6 aylığına kaleden uzak kaldı. 2010 yılından bu yana Milli Takımda forma giyiyor. 2013 yılında Dilek Akkuş ile evlenen Milli Kaleci Onur Kıvrak’ın bu evliliğinden İlayda isminde bir kızı vardır.