İstanbul doğumlu Büşra Oğur,eğitimini İstanbul Üniversitesi İletişim Fakültesi Radyo Sİnema ve Televizyon bölümünde tamamladı.BJK TV'de 2013 yılında yaklaşık bir yıl boyunca sunuculuk yaptı. 2014 yılından bu yana ise dizi ve filmlerde oyunculuk yapmaktadır.
Bugüne kadar,2014 yılında Kiraz Mevsimi, 2015 yılında Kurtlar Vadisi: Pusu, 2015 yılında Şehrin Melekleri, 2015 yılında Çilek Kokusu ve 2017 yılında Kırlangıç Fırtınası'nda rol almıştır.
Büşra Oğur,şimdilerde Kanal 7 ekranlarında yayınlanan Yemin adlı dizide Tülay karakteriyle rol almıştır.